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• 1、已知正方形abcd,点p,q分别是边ad,bc上的两动点,将四边形abqp沿pq...
• 2、...点P,Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形EFQ...
• 3、已知正方形ABCD,点P,Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ...
• 4、...点P、Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形E...
• 5、求证:椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值

已知正方形abcd,点p,q分别是边ad,bc上的两动点,将四边形abqp沿pq...

由于点P和Q分别是AD和CD的中点，因此PQ等于AC的一半，即PQ等于根号2。当E和F是MN和AB、BC的交点时，四边形PQFE周长最小。此时，PE+EF+FD的最小值等于MN的长度，通过勾股定理计算得出，MN等于根号下3的平方加3的平方，结果为3倍根号2。

代入 ，得 解得 。∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时， 。（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，∴PQ和BC是以点E 为圆心，4为半径圆的两条切线。连接EQ， 易得，△ABP∽△CEQ，∴ 。∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ= ，∴ ，即 。

应该是“当PQ‖AD时”吧，因为PQ‖AB是不可能的，他们始终有公共点P。

作PE垂直AC于E。显然，AC=根号2，AQ=2X，BP=X，PC=1-X。角ACB=45度，所以，PE=CE=（根号2）/2PC=（根号2）/2（1-X）。所以，y=1/2*AQ*PE=-（根号2）/2x^2+（根号2）/2x，（0=x=（根号2）/2）。

提示：方法不唯一。如图，在BC上取点Q，使BQ=CD=b或使CQ=AB=a.PQ 就是所求直线。理由如下，如图，作法略。

平行四边形的两组对角分别相等；主要是用这一个定理。

...点P,Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形EFQ...

代入 ，得 解得 。∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时， 。（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，∴PQ和BC是以点E 为圆心，4为半径圆的两条切线。连接EQ， 易得，△ABP∽△CEQ，∴ 。∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ= ，∴ ，即 。

分别以BC，BA为x，y轴建立直角坐标系。当0=t3时，作HI⊥AD于I，易知△AEF≌IHE（AAS），则HI=AE，EI=AF。设E（t，6），F（0，6-2t），H（3t，6-t）。根据xG=xF+xH-xE=2t，yG=yF+yH-yE=6-3t=0，得出t=2。此时点G落在BC边上。

∴∠BPH+∠HPE=∠EPF+∠HPE=90°，∴∠BPH=∠EPF，又∠PHB=∠PFE=90°，PH=PF，∴ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚，∴PE=PB=PD ∴DF=EF﹙等腰三角形三线合一﹚，CE=CF-EF=CF-DF=PC/√2-PA/√2，即PC-PA＝√2CE。

已知正方形ABCD,点P,Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ...

由于点P和Q分别是AD和CD的中点，因此PQ等于AC的一半，即PQ等于根号2。当E和F是MN和AB、BC的交点时，四边形PQFE周长最小。此时，PE+EF+FD的最小值等于MN的长度，通过勾股定理计算得出，MN等于根号下3的平方加3的平方，结果为3倍根号2。

代入 ，得 解得 。∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时， 。（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，∴PQ和BC是以点E 为圆心，4为半径圆的两条切线。连接EQ， 易得，△ABP∽△CEQ，∴ 。∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ= ，∴ ，即 。

应该是“当PQ‖AD时”吧，因为PQ‖AB是不可能的，他们始终有公共点P。

作PE垂直AC于E。显然，AC=根号2，AQ=2X，BP=X，PC=1-X。角ACB=45度，所以，PE=CE=（根号2）/2PC=（根号2）/2（1-X）。所以，y=1/2*AQ*PE=-（根号2）/2x^2+（根号2）/2x，（0=x=（根号2）/2）。

...点P、Q分别是边AD、BC上的两动点,将四边形ABQP沿PQ翻折得到四边形E...

1、应该是“当PQ‖AD时”吧，因为PQ‖AB是不可能的，他们始终有公共点P。

2、代入 ，得 解得 。∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时， 。（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，∴PQ和BC是以点E 为圆心，4为半径圆的两条切线。连接EQ， 易得，△ABP∽△CEQ，∴ 。∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ= ，∴ ，即 。

3、提示：方法不唯一。如图，在BC上取点Q，使BQ=CD=b或使CQ=AB=a.PQ 就是所求直线。理由如下，如图，作法略。

4、解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。设DN=x，则由S △ ADC =S △ AND ＋S △ NAC 得3 x＋5 x=12，解得x= ，即DN=BM= 。过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。 在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM= 。∵PQ∥MN，DC∥AB，∴四边形NMQP是平行四边形。

求证:椭圆上的一条焦点弦上的两条焦半径长度的倒数合为定值

设F为焦点，L为对应的准线，AB为焦点弦。AP、BQ、FR垂直于L，垂足为P，Q，R。由圆锥曲线的定义，AF = e * AP， BF = e * BQ。

椭圆焦点弦的八大结论是椭圆的一些重要性质和关系，如下所示：椭圆的焦点弦定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于该点到两个焦点连线的长度。椭圆的焦半径定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于该点到两个焦点连线的长度。

首先你要知道焦半径公式F1P=a+ex，F2P=a-ex，现在焦点弦可以看作两条焦半径，一条长径一条短径，集合计算可得L=2a+-e（x1+x2），x1+x2由中点公式可得为2x。所以，椭圆焦点弦公式如上。

焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆上的点与焦点之间的距离可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。

焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离，不是定值。